Solution

(i)
If $$\theta$$ be the angle between the given lines.
Then $$\cos { \theta } =\left| \cfrac { \vec { {

b }_{ 1 } } .\vec { { b }_{ 2 } } }{ \left| \vec { { b }_{ 1 } }

\right| \left| \vec { { b }_{ 2 } } \right| } \right| $$
where $$ \vec { { b }_{ 1 } } =\left(

3\hat { i } +2\hat { j } +6\hat { k } \right) $$ and $$\vec { { b }_{ 2

} } =\left( \hat { i } +2\hat { j } +2\hat { k } \right) $$
$$\therefore$$ $$\left| \vec { { b }_{ 1 } } \right| =\sqrt { { 3 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 }+{ 6 }^{ 2 } } =7$$
$$\left| \vec { { b }_{ 2 } } \right| =\sqrt { { 1 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 } } =3$$
$$\vec

{ { b }_{ 1 } } .\vec { { b }_{ 2 } } =\left( 3\hat { i } +2\hat { j }

+6\hat { k } \right) .\left( \hat { i } +2\hat { j } +2\hat { k }

\right) $$
$$=3\times 1+2\times 2+6\times 2=3+4+12=19$$
$$\Rightarrow$$ $$\cos { \theta } =\cfrac { 19 }{ 7\times 3 } $$
$$\Rightarrow$$ $$\theta=\cos ^{ -1 }{ \left( \cfrac { 19 }{ 21 } \right) } $$

(ii)
The given lines are parallel to the vectors,
$$\vec { { b }_{ 1 } } =\left( \hat { i } -\hat { j } -2\hat { k } \right) $$ and $$\vec { { b }_{ 2 } } =\left( 3\hat { i } -5\hat { j } -4\hat { k } \right) $$ respectively.
$$\therefore$$ $$\left| \vec { { b }_{ 1 } } \right|=\sqrt { { \left( 1 \right) }^{ 2 }+{ \left( -1 \right) }^{ 2 }+{ \left( -2 \right) }^{ 2 } } =\sqrt { 6 } $$
$$\left| \vec { { b }_{ 2} } \right| =\sqrt { { \left( 3 \right) }^{ 2 }+{ \left( -5 \right) }^{ 2 }+{ \left( -4 \right) }^{ 2 } } =5\sqrt { 2 } $$
$$\vec { { b}_{ 1 } } .\vec { { b }_{ 2 } } =\left( \hat { i } -\hat { j } -2\hat {k } \right) .\left( 3\hat { i } -5\hat { j } -4\hat { k } \right) $$
$$1.3-1(-5)-2(-4)=3+5+8=16$$
If $$\theta$$ is the angle between the given lines then,
$$\cos{ \theta } =\left| \cfrac { \vec { { b }_{ 1 } } .\vec { { b }_{ 2 } } }{ \left| \vec { { b }_{ 1 } } \right| \left| \vec { { b }_{ 2 } } \right| } \right| $$
$$\Rightarrow$$ $$\cos { \theta } =\cfrac { 16 }{ \sqrt { 6 } .5\sqrt { 2 } } =\cfrac { 16 }{ \sqrt { 2 } .\sqrt { 3 } .5\sqrt { 2 } } =\cfrac { 16 }{ 10\sqrt { 3 } } $$
$$\Rightarrow$$ $$\cos { \theta } =\cfrac { 8 }{ 5\sqrt { 3 } } $$
$$\Rightarrow$$ $$\theta=\cos ^{ -1 }{ \left( \cfrac { 8 }{ 5\sqrt { 3 } } \right) } $$