Solution

The given lines are
$$\vec { r } =(1-t)\hat { i } +(t-2)\hat { j } +(3-2t)\hat { k } $$
$$\Rightarrow$$ $$\vec { r } =\left( \hat { i } -2\hat { j } +3\hat { k } \right)

+t\left( -\hat { i } +\hat { j } -2\hat { k } \right) ......(1)\quad $$
$$\vec { r } =(s+1)\hat { i } +(2s-1)\hat { j } -(2s+1)\hat { k }$$
$$\Rightarrow$$ $$\vec { r } =\left( \hat { i } -\hat { j } +3\hat { k } \right)

+s\left( \hat { i } +2\hat { j } -2\hat { k } \right) .......(2)$$
It is known that the shortest distance between the lines,
$$\vec

{ r } =\vec { { a }_{ 1 } } +\lambda \vec { { b }_{ 1 } } $$ and $$\vec

{ r } =\vec { { a }_{ 2 } } +\mu \vec { { b }_{ 2 } } $$, is given by
$$d=\left|

\cfrac { \left( \vec { { b }_{ 1 } } \times \vec { { b }_{ 2 } }

\right) \left( \vec { { a }_{ 1 } } -\vec { { a }_{ 2 } } \right) }{

\left| \vec { { b }_{ 1 } } \times \vec { { b }_{ 2 } } \right| }

\right| .....(1)\quad $$
For the given equations,
$$\vec { { a }_{ 1 } } =\hat { i } -2\hat { j } +3\hat { k } $$
$$\vec { { b }_{ 2 } } =-\hat { i } +\hat { j } -2\hat { k } $$
$$\vec { { a }_{ 2 } } =\hat { i } -\hat { j } -\hat { k } $$
$$\vec { { b }_{ 2 } } =\hat { i } +2\hat { j } -2\hat { k } $$
$$\vec

{ { a }_{ 2 } } -\vec { { a }_{ 1 } } =\left( \hat { i } -\hat { j }

-\hat { k } \right) -\left( \hat { i } -2\hat { j } +3\hat { k }

\right) =\hat { j } -4\hat { k } $$
$$\left( \vec { { b }_{ 1 } }

\times \vec { { b }_{ 2 } } \right) \left( \vec { { a }_{ 1 } } -\vec {

{ a }_{ 2 } } \right) =\begin{vmatrix} \hat { i } & \hat { j }

& \hat { k } \\ -1 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & -2

\end{vmatrix}$$
$$=(-2+4)\hat { i } -(2+2)\hat { j } +(2-1)\hat { k } $$
$$\Rightarrow$$ $$\left| \vec { { b }_{ 1 } } \times \vec { { b }_{ 2 } } \right|

=\sqrt { { \left( 2 \right) }^{ 2 }+{ \left( -4 \right) }^{ 2 }+{

\left( -3 \right) }^{ 2 } } =\sqrt { 4+16+9 } =\sqrt { 29 } $$
$$\therefore$$ $$\left( \vec { { b }_{ 1 } } \times \vec { { b }_{ 2 } } \right)

.\left( \vec { { a }_{ 1 } } -\vec { { a }_{ 2 } } \right) =\left(

2\hat { i } -4\hat { j } -3\hat { k } \right) .\left( \hat { j } -4\hat

{ k } \right) =-4+12=8$$
Substituting all the values in equation (3), we obtain,
$$d=\left| \cfrac { 8 }{ \sqrt { 29 } } \right| =\cfrac { 8 }{ \sqrt { 29 } } $$
Therefore, the shortest distance between the lines is $$\cfrac { 8 }{ \sqrt { 29 } } $$ units.